La ley de Coulomb, o ley inversa-cuadrada de Coulomb, es una ley de la física que describe la fuerza que interactúa entre las partículas estáticas cargadas eléctricamente. En su forma escalar, la ley es:

Donde ke es la constante de Coulomb (ke = 8.99×109 N m2 C−2), q1 y q2 son las magnitudes firmadas de las cargas, y el escalar r es la distancia entre las cargas. La fuerza de interacción entre las cargas es atractiva si las cargas tienen signos opuestos (es decir, F es negativa) y repulsiva si están firmadas de igual manera (es decir, F es positiva).

La ley fue publicada por primera vez en 1784 por el físico francés Charles-Augustin de Coulomb y fue esencial para el desarrollo de la teoría del electromagnetismo. Siendo una ley inversa-cuadrada, es análoga a la ley inversa-cuadrada de Isaac Newton de la gravitación universal. La ley de Coulomb puede ser usada para derivar la ley de Gauss, y viceversa. La ley ha sido probada extensamente, y todas las observaciones han confirmado el principio de la ley.

Historia de la ley de Coulomb

Las culturas antiguas alrededor del Mediterráneo sabían que ciertos objetos, como varillas de ámbar, podían ser frotados con el pelo de gato para atraer objetos ligeros como plumas. Thales of Miletus hizo una serie de observaciones sobre la electricidad estática alrededor del año 600 a. C., a partir de las cuales creyó que la fricción hacía al ámbar magnético, en contraste con minerales como la magnetita, que no necesitaba frotarse. Thales estaba equivocado al creer que la atracción se debía a un efecto magnético, pero más tarde la ciencia probaría un vínculo entre el magnetismo y la electricidad. La electricidad seguiría siendo poco más que una curiosidad intelectual durante milenios hasta 1600, cuando el científico inglés William Gilbert hizo un estudio cuidadoso de la electricidad y el magnetismo, distinguiendo el efecto lodestone de la electricidad estática producida por el roce del ámbar. Él acuñó la nueva palabra latina electricus para referirse a la propiedad de atraer objetos pequeños después de ser frotado. Esta asociación dio origen a las palabras inglesas “electric” y “electricity”, que hicieron su primera aparición en imprenta en la Pseudodoxia Epidemica de Thomas Browne de 1646.

Los primeros investigadores del siglo XVIII que sospechaban que la fuerza eléctrica disminuyó con la distancia como la fuerza de gravedad (es decir, como el cuadrado inverso de la distancia) incluyeron a Daniel Bernoulli y Alessandro Volta, que midieron la fuerza entre las placas de un condensador, y Franz Aepinus que supuso la ley del cuadrado inverso en 1758.

Basado en experimentos con esferas cargadas eléctricamente, Joseph Priestley de Inglaterra fue uno de los primeros en proponer que la fuerza eléctrica seguía una ley de cuadrado inverso, similar a la ley de gravitación universal de Newton. Sin embargo, no generalizó ni profundizó en esto. En 1767, conjeturó que la fuerza entre cargas variaba como el cuadrado inverso de la distancia.

En 1769, el físico escocés John Robison anunció que, según sus mediciones, la fuerza de repulsión entre dos esferas con cargas del mismo signo variaba como x−2.06.

A principios de la década de 1770, Henry Cavendish de Inglaterra ya había descubierto, pero no publicado, la dependencia de la fuerza entre los cuerpos acusados tanto de distancia como de cargo.

Finalmente, en 1785, el físico francés Charles-Augustin de Coulomb publicó sus tres primeros informes sobre la electricidad y el magnetismo en los que afirmaba su ley. Esta publicación fue esencial para el desarrollo de la teoría del electromagnetismo. Utilizó un balance de torsión para estudiar las fuerzas de repulsión y atracción de las partículas cargadas, y determinó que la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

El balance de torsión consiste en una barra suspendida desde su centro por una fibra fina. La fibra actúa como un resorte de torsión muy débil. En el experimento de Coulomb, la balanza de torsión era una varilla aislante con una bola metálica adherida a un extremo, suspendida por un hilo de seda. La bola fue cargada con una carga conocida de electricidad estática, y una segunda bola cargada de la misma polaridad se acercó a ella. Las dos bolas cargadas se repelían unas a otras, girando la fibra a través de un cierto ángulo, que se podía leer desde una escala en el instrumento. Sabiendo cuánta fuerza se necesitó para torcer la fibra a través de un ángulo dado, Coulomb fue capaz de calcular la fuerza entre las bolas y derivar su ley de proporcionalidad inversa-cuadrada.

La ley

La ley de Coulomb lo dice así:

La magnitud de la fuerza electrostática de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las magnitudes de cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

La fuerza está a lo largo de la línea recta que los une. Si las dos cargas tienen el mismo signo, la fuerza electrostática entre ellas es repulsiva; si tienen signos diferentes, la fuerza entre ellas es atractiva.

La ley de Coulomb también puede ser expresada como una simple expresión matemática. Las formas escalares y vectoriales de la ecuación matemática son:

 y  respectivamente,

donde ke es la constante de Coulomb (ke = 8.9875517873681764×109 N m2 C−2), q1 y q2 son las magnitudes firmadas de las cargas, el escalar r es la distancia entre las cargas, el vector r21 = r1 − r2 es la distancia vectorial entre las cargas, y 21 = r21/|r21| (un vector unitario que apunta de q2 a q1). La forma vectorial de la ecuación calcula la fuerza F1 aplicada en q1 por q2. Si en su lugar se utiliza r12 se puede encontrar el efecto en q2. También puede calcularse utilizando la tercera ley de Newton: F2 = −F1.

Unidades

Cuando la teoría electromagnética se expresa utilizando las unidades SI estándar, la fuerza se mide en newtons, carga en Coulomb y distancia en metros. La constante de Coulomb viene dada por ke = ​1ε0. La constante ε0 es la permitividad del espacio libre en C2 m−2 N−1. Y ε es la permitividad relativa del material en el que se sumergen las cargas, y no tiene dimensión.

Las unidades derivadas del SI para el campo eléctrico son voltios por metro, newtons por coulomb, o medidores tesla por segundo.

La ley de Coulomb y la constante de Coulomb también pueden interpretarse en varios términos:

  • Unidades atómicas. En las unidades atómicas, la fuerza se expresa en hartrees por radio Bohr, la carga en términos de carga elemental y las distancias en términos del radio Bohr.
  • Unidades electrostáticas o unidades gaussianas. En las unidades electrostáticas y unidades gaussianas, la carga unitaria (esu o statcoulomb) se define de tal manera que la constante k de Coulomb desaparece porque tiene el valor de una y se vuelve sin dimensión.

Las unidades CGS son a menudo preferidas en el tratamiento del electromagnetismo, ya que simplifican enormemente las fórmulas.

Campo eléctrico

Un campo eléctrico es un campo vectorial que asocia a cada punto del espacio la fuerza de Coulomb experimentada por una carga de prueba. En el caso más sencillo, el campo se considera generado únicamente por una única carga de punto de origen. La fuerza y dirección de la fuerza F  de Coulomb en una carga de prueba qt  depende del campo eléctrico E en el que se encuentre, de manera que F = qtE. Si el campo es generado por una carga de punto de fuente positivo q, la dirección del campo eléctrico apunta a lo largo de las líneas dirigidas radialmente hacia el exterior, es decir, en la dirección en que una carga de prueba de punto positivo qt se movería si se colocara en el campo. Para una carga fuente de punto negativo, la dirección es radialmente hacia adentro.

La magnitud del campo eléctrico E puede derivarse de la ley de Coulomb. Al elegir una de las cargas de punto para ser la fuente, y la otra para ser la carga de prueba, de la ley de Coulomb se desprende que la magnitud del campo eléctrico E creado por una sola carga de punto de fuente q a cierta distancia de la misma r en vacío es dada por:

La constante de Coulomb

La constante de Coulomb es un factor de proporcionalidad que aparece en la ley de Coulomb, así como en otras fórmulas relacionadas con la electricidad. Denota ke, también se llama la constante de fuerza eléctrica o constante electrostática, de ahí el subíndice e.

El valor exacto de la constante de Coulomb es:

Condiciones de validez

Hay tres condiciones que deben cumplirse para la validez de la ley de Coulomb:

  • Las cargas deben tener una distribución esférica simétrica (por ejemplo, cargas puntuales o una esfera metálica cargada).
  • Las tasas no deben solaparse (p. ej., tasas por puntos distintas).
  • Los cargos deben ser fijos entre sí.

Forma escalar

Cuando sólo interesa conocer la magnitud de la fuerza electrostática (y no su dirección), puede ser más fácil considerar una versión escalar de la ley. La forma escalar de la Ley de Coulomb relaciona la magnitud y el signo de la fuerza electrostática F actuando simultáneamente sobre dos cargas puntuales q1 y q2 como sigue:

donde r es la distancia de separación y ke es la constante de Coulomb. Si el producto q1q2 es positivo, la fuerza entre las dos cargas es repulsiva; si el producto es negativo, la fuerza entre ellas es atractiva.

Forma vectorial

La ley de Coulomb establece que la fuerza electrostática F1 experimentada por una carga, q1 en la posición r1, en las proximidades de otra carga, qen la posición r2, en un vacío es igual a:  donde r21 = r1 − r2, la unidad vectorial  21 = r21/|r21|, y ε0 es la constante eléctrica.

La forma vectorial de la ley de Coulomb es simplemente la definición escalar de la ley con la dirección dada por el vector unitario, 21, paralelo con la línea de carga q2 a carga q1. Si ambas cargas tienen el mismo signo (como cargas) entonces el producto q1q2 es positivo y la dirección de la fuerza en  q1 es dada por  21; las cargas se repelen entre sí. Si las cargas tienen signos opuestos entonces el producto q1q2 es negativo y la dirección de la fuerza en  q1 es dada por −21 = 12; las cargas se atraen unas a otras.

La fuerza electrostática F2 experimentada por q2, según la tercera ley de Newton, es  F2 = −F1.

Sistema de cargas discretas

La ley de superposición permite que la ley de Coulomb se amplíe para incluir cualquier número de cargos puntuales. La fuerza que actúa sobre una carga puntual debida a un sistema de cargas puntuales es simplemente la suma vectorial de las fuerzas individuales que actúan solas sobre esa carga puntual debido a cada una de las cargas. El vector de fuerza resultante es paralelo al vector del campo eléctrico en ese punto, con la carga de ese punto eliminada.

La fuerza F sobre una carga pequeña q en la posición r, debido a un sistema de N cargas discretas en vacío es:

donde qi y ri son la magnitud y la posición respectivamente de la carga i, i es un vector unitario en la dirección de Ri = r − ri (un vector que apunta de las cargas qi a q)

Distribución de carga continua

En este caso, también se utiliza el principio de superposición lineal. Para una distribución de carga continua, una integral sobre la región que contiene la carga equivale a una suma infinita, tratando cada elemento infinitesimal del espacio como un punto de carga dq. La distribución de la carga suele ser lineal, superficial o volumétrica.

Para una distribución de carga lineal (una buena aproximación de carga en un cable) donde λ(r′) da la carga por unidad de longitud en la posición r′, y dl′ es un elemento de longitud infinitesimal,

Para una distribución de carga de superficie (una buena aproximación para la carga sobre una placa en un condensador de placa paralela) donde σ(r′) da la carga por área unitaria en la posición r′, y dA′ es un elemento de área infinitesimal,

Para una distribución de carga de volumen (como la carga dentro de un metal a granel) donde ρ(r′) da la carga por unidad de volumen en la posición r′, y dV′ es un elemento infinitesimal de volumen,

La fuerza sobre una pequeña carga de prueba q′ a la posición r en el vacío es dada por la parte integral sobre la distribución de la carga:

Experimento sencillo para verificar la ley de Coulomb

Es posible verificar la ley de Coulomb con un simple experimento. Considere dos esferas pequeñas de masa m y carga de la misma señal q, colgando de dos cuerdas de masa insignificante de la longitud l. Las fuerzas que actúan en cada esfera son tres: el peso mg, la tensión de la cuerda T y la fuerza eléctrica F.

En estado de equilibrio:

Dividiendo (1) por (2):

Que L1 sea la distancia entre las esferas cargadas; la fuerza de repulsión entre ellas F1, suponiendo que la ley de Coulomb sea correcta, es igual a

así que:

Si ahora descargamos una de las esferas, y la ponemos en contacto con la esfera cargada, cada una de ellas adquiere una carga. q/2. En el estado de equilibrio, la distancia entre las cargas será L2 < L1 y la fuerza de repulsión entre ellas será:

Sabemos que F2 = mg de tan θ2. Y:

Dividiendo (4) por (5), obtenemos:

Medir los ángulos θ1 y θ2 y la distancia entre las cargas L1 y L2 es suficiente para verificar que la igualdad es verdadera teniendo en cuenta el error experimental. En la práctica, los ángulos pueden ser difíciles de medir, así que si la longitud de las cuerdas es suficientemente grande, los ángulos serán lo suficientemente pequeños para hacer la siguiente aproximación:

Usando esta aproximación, la relación (6) se convierte en la expresión mucho más simple:

De este modo, la verificación se limita a medir la distancia entre las cargas y comprobar que la división se aproxima al valor teórico.

Aproximación electrostática

En cualquier formulación, la ley de Coulomb es totalmente exacta sólo cuando los objetos están inmóviles, y permanece aproximadamente correcta sólo para movimientos lentos. Estas condiciones se conocen colectivamente como aproximación electrostática. Cuando se produce el movimiento, se producen campos magnéticos que alteran la fuerza sobre los dos objetos. La interacción magnética entre las cargas móviles puede ser considerada como una manifestación de la fuerza del campo electrostático, pero tomando en consideración la teoría de la relatividad de Einstein.

Fuerzas atómicas

La ley de Coulomb se sostiene incluso dentro de los átomos, describiendo correctamente la fuerza entre el núcleo atómico cargado positivamente y cada uno de los electrones cargados negativamente. Esta simple ley también explica correctamente las fuerzas que unen a los átomos para formar moléculas y las fuerzas que unen átomos y moléculas para formar sólidos y líquidos. Generalmente, a medida que la distancia entre los iones aumenta, la fuerza de atracción y la energía de unión, se aproximan a cero y la vinculación iónica es menos favorable. A medida que aumenta la magnitud de las cargas opuestas, aumenta la energía y la unión iónica es más favorable.